問題
1メートルの長さのパスタがたくさんある。
これから、1本のパスタを切って2つの部分に分けていく。
切る部分が完全にランダムである時、短い方のパスタの長さは平均すると何センチになるだろうか？
さあ、解いてみよう！
ヒントはなし。
少し下にスクロールすると答えがあります。
正解
25センチメートル
解説
パスタがカットされる場所は完全にランダム。
なので平均すると2回に1回はパスタの「左半分」のどこかが、2回に1回はパスタの「右半分」のどこかがカットされます。
※設問には「短い方のパスタ」という記述があるため、パスタがきっかり中央でカットされて「同じ長さのパスタが2本できる」という場合は無視することができる
さて、パスタが「左半分」のどこかでカットされた場合を考えます。
当然ですがこの時点で「左半分」の方が「短い方のパスタ」になります。
「左半分」の長さは0センチより長く50センチより短い。
「左半分」のすべての箇所においてそこがカットされる確率は等しい。
つまり「短い方のパスタ」の長さを平均すると、「左半分」の長さの半分になるはずです。
パスタの半分、のさらに半分。
4分の1。
すなわち25センチメートル。
これは「右半分」を対象にした場合でも同じ結論になります。
以上より、「短い方のパスタ」の長さは平均すると25センチメートルです。
参考
Expected length of a stick broken into two pieces — explaining the length function and PDF
