数学クイズ「破れたページの少女」がすげー面白い!

めちゃくちゃ面白い数学クイズがありました!!

ちょっとやってみてください。

かなりの良問です!

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問題

1枚だけページが破れた本がある。

破れていないページ番号を合計すると15000になる。

破れたページは何ページ目だろうか?

さあ、解いてみよう!

お、おう。

解ける気がしない。

やばいのが出てきたな……。

 

「ページ番号」は「何ページ目か」を示す数字で、ページの右下とか左下に書いてあるアレです。

ヒントはなし。

超難問というわけではありませんが、数学を使います。

ひっかけにも注意しましょう。

めっちゃ面白い問題です。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

25ページ目と26ページ目

解説

必要なもの

本問では「総和の計算」が必要になります。

使用するのは、もっとも基本的な総和計算である「”1からNまでを足していった合計値”を求める公式」。

\(
1 + 2 + 3 + … + N = \frac{1}{2} N (N+1)
\)

これですね!

なぜこの式で合計値が計算できるか?
っていう理由については以下の参考リンクがわかりやすいです。
参考:1からnまでの和を求める公式

前提

問題を再確認しましょう。

1枚だけページが破れた本がある。
破れていないページ番号を合計すると15000になる。
破れたページは何ページ目だろうか?

1枚だけ破られたページ。

「1枚」の裏表には連続した数のページ番号が存在するはずです。

とりあえず、「破れたページ番号」を「x-1」「x」としましょう。
たとえば破れた1枚が「3ページ目」「4ページ目」だったら、「x-1」は3、「x」は4です。

つぎに、「この本の全ページ数」も気になります。
気になりますっていうか必要になります。
とりあえず、「本の全ページ数」を「N」としましょう。

さっきから「とりあえず」っていう表現が多いですね。
いいんです。
「分からないもの」は「今は分からん!!」で進めるのが数学なので。

関係を整理してみる

スタート時点での状況を整理してみましょう。

本の全ページ数:
\(
N
\)

本の全ページ番号:
\(
{1, 2, 3, …, N}
\)

本の全ページ番号の合計値:
\(
1 + 2 + 3 + … + N
= \frac{1}{2} N (N+1)
\)

“破れていないページ番号を合計すると15000になる。”:
\(
\frac{1}{2} N (N+1) – x – (x – 1) = 15000
\)

さて、この時点で分からないのが「N」と「x」。
1つの方程式で判明するのは1つの未知数なので、このままでは式が解けません。

どうしましょう?

破れたページ番号は、全ページ番号の合計数よりずっと小さいはずです。
なので、とりあえず破れたページ番号は考えずに「本の全ページ数」を推定してみましょう。

本の全ページ番号を合計するとだいたい15000になる。:
\(
\frac{1}{2} N (N+1) ≒ 15000 \\
N (N+1) ≒ 30000 \\
N^2 ≒ 30000 \\
N ≒ \sqrt{30000} \\
N ≒ 173.2
\)

出ました。

おそらくこの本は全部で173ページか174ページの本です。

破れたページ

本の全ページ数が「174ページ」だとすると、

\(
N = 174
\)

なので、

\(
\frac{1}{2} N (N+1) = 15225
\)

ご覧のように「全ページ番号の合計数」は15225になります。

そして「破れたページ番号の合計」は以下の通り。

\(
15225 – 15000 = 225
\)

ここから、

\(
x + (x – 1) = 225 \\
x = 113
\)

つまり破れたページ1枚は、112ページ目と113ページ目!

 

 

ではない。

 

ここで重要になってくるのが「ページが1枚破れている」という点。

通常、本というのは1ページ目から始まり、その裏が2ページ目になります。
それで1枚です。

{奇数ページ}の次に{偶数ページ}が来ます。

ところが「112ページ」と「113ページ」のペアでは、{偶数ページ}の次に{奇数ページ}がくるため、ページが2枚に及んでいることになります。

これは問題の前提から外れます。

すなわち、本の全ページ数は「174ページ」ではない。

真実

残された可能性は、本の全ページ数が173である場合。

同様に計算していきましょう。

\(
N = 173
\)

なので、

\(
\frac{1}{2} N (N+1) = 15051
\)

\(
15051 – 15000 = 51
\)

「破れたページ番号の合計」は51。

つまり。

\(
x + (x – 1) = 51 \\
x = 26
\)

これならば{奇数ページ}の次に{偶数ページ}という順序とも矛盾しません。

破れたページは、25ページ目と26ページ目です。

まとめ

「あまりにも情報が少なすぎる」と誰もが思う問題。

けれど準備をすればそこから雪崩式に解けてしまう。

数学って面白いなーーー。

参考

問題の初出は1994年のインド地方数学オリンピック。

The Seemingly Impossible Missing Book Pages Puzzle From India

140字以内の問題文

1枚だけページが破れた本がある。

破れていないページ番号を合計すると15000になる。

破れたページは何ページ目だろうか?