数学クイズ「車が通るのを待つ少女」に直感は通じない

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問題

ある道路では、30分以内に車が通る確率は95%である。
では、10分以内に車が通る確率は?

  1. 63%
  2. 53%
  3. 42%
  4. 32%

さあ、解いてみよう!

4択のうち、どれかを選んでください。

きちんと計算するとやや面倒なので、直感でも構いません。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

63%

解説

30分で95%……。

ということは10分なら、95を3で割って32%くらいなのでは?

と思いたくなります(なりました)

きちんと計算してみましょう。

「起こらない」確率

本問では余事象の確率を使います。

「余事象」とは、「あることが起こらない」ことです。

つまり「余事象の確率」とは、「あることが起こらない確率」を指します。

例を挙げましょう。

「雨が降らない確率」を計算したい時は、

雨が降る確率 + 雨が降らない確率 = 100%

っていうのを変形して、

雨が降らない確率 = 100% – 雨が降る確率

さらに確率を数値で表して、

雨が降らない確率 = 1 – 雨が降る確率

はいこれ!
これが余事象の確率です。
確率の分野では死ぬほど出てくるのでぜひ覚えてしまいましょう。

車が「通らない」確率

30分以内に車が通る確率 = 0.95
30分以内に車が通らない確率 = 0.05

さて、本問の答えは「10分以内に車が通る確率」。

(10分以内に車が通る確率)
= 1 – (10分以内に車が通らない確率)

で示される通り、「10分以内に車が通らない確率」(以下、この確率をAとする)を求めれば最終的な答えが出ます。

ところで、「30分以内に車が通らない」ということは、「10分以内に車が通らない」ことが3連続で発生したと考えていいはずです。

これを数式で表現すると、
A × A × A = (30分以内に車が通らない確率)

ここに判明している値をブチ込むと、
A3 = 0.05
となります。

これを計算すると、
A = 0.3684..

(10分以内に車が通る確率)
= 1 – (10分以内に車が通らない確率)
= 1 – A
≒ 0.63

以上より、「10分以内に車が通る確率」はおよそ63%になるのです。

この問題の95%とは、
「30分以内に車が1台だけ通る確率」
ではなく、
「30分以内に車が1台以上通る確率」
を指しています。

これが盲点になりやすい箇所です。

余事象を使ってしっかり計算できた方は、かなりの数学センスをお持ちです。

補足:ポアソン過程

各事象は、その前および次の事象とは無関係である(離散的)
各事象は、所与の領域内・時間内において偏りなく発生する
各事象は、指数分布の発生間隔をとる

このような時にはポアソン過程の計算式を用いることで目的の値を得られます。

  • 1時間に特定の交差点を通過する車両の台数
  • 1時間以内での店への来客数
  • 単位面積あたりの雨粒の数

こういうのを知りたい時ですね!

ここで重要となるのが「ポアソン過程の到着時間間隔」。

単位時間当たりの到着数がλで与えられたとき、ある到着から次の到着までの時間間隔tは指数分布に従い、その確率密度f(t)と確率分布F\( (t \le T) \)は以下のように与えられます。

確率密度
\( \begin{equation*} f(t) = \lambda e^{- \lambda t} \end{equation*} \)

確率分布
\( \begin{equation*} F(t \le T) = 1 – e^{- \lambda T} \end{equation*} \)

ここに
t = 30(分)
を代入すると、

\( \begin{equation*} F(t \le 30) = 1 – e^{- 30 \lambda} \end{equation*} = 0.95 \)

すなわち

\( e^{- 30 \lambda} = 0.05 \)

となり、

\( F(t \le 10) = 1 – e^{- 10 \lambda } = 1 – \sqrt[3]{0.05} ≒ 0.63 \)

って感じで本問の答えも出せるらしいです(伝聞)

ぶっちゃけ半分くらい何言ってるかわからない状態なので、興味がある方は下記の参考リンクをご参照ください。

まとめ

直感に反した数値の秘密を探れる。

来客数とか車の通行数とか「いやそんなの分かるわけないだろ」ってことでも計算すれば求められちゃう。

確率ってすごいなー。

参考

Probability Calculations on Highway

Wikipedia:ポアソン分布

ポアソン過程について

2009-11-27 グーグル面接難問とアクチュアリー試験

140字以内の問題文

ある道路では、30分以内に車が通る確率は95%である。
では、10分以内に車が通る確率は?