おもしろい!数学クイズ「天国への日数を考える少女」のパズルに頭をひねる

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問題

広場に3つの扉がある。
扉の見た目はいずれも同じ。

ひとつは「一瞬で天国に行ける」扉
ひとつは「1日の間ずっと広場から出られない」扉
ひとつは「2日の間ずっと広場から出られない」扉

扉は、開けた瞬間に効果があらわれる。

扉の効果があらわれると、すぐに扉は閉じられ位置がランダムにシャッフルされる。
そのため、前回の位置にある扉が今回も同じとは限らない。

さて、この広場を訪れた者は平均何日で天国にたどり着けるだろうか?

さあ、解いてみよう!

ふむ。

ちょっと意味がわからない。

毎回扉はシャッフルされるのならば、場合分けすら不可能に見えてしまう。

……?
解けるのか?

 

解けます。

難しい数学知識は必要ありません。
計算もやさしめです。

ただし、かなりの数学的センスを必要とします。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

3日

解説

夢の中で逢った、ような……

解き方の手がかりすら分からない難解な問題に思えます。

どうしましょう?

……。

この問題を「確率が関わる平均値」を求めるものとして考えるとワケが分からなくなります。

ある確率で何かが得られて、ある確率で別の何かが得られる、その平均値。

……どこかで見たことはありませんか?

 

そう。
期待値です。

期待すること

軽くおさらいしておきましょう。

「期待値」とは「1回の試行で得られる値の平均値」のことです。

“それ”が起こる確率と”それ”によって得られる値をすべてかけて足し合わせたもので、式にすると

(Aが起こる確率 × Aで得られる値)
+ (Bが起こる確率 × Bで得られる値)
+ (Cが起こる確率 × Cで得られる値)
+ ……
+ (Zが起こる確率 × Zで得られる値)

みたいな感じになります。

はい。

よく分かりませんね。

宝くじで例えてみましょう。

賞金 10,000円 500円 100円 0円
確率 \( \frac{1}{100} \) \( \frac{4}{100} \) \( \frac{45}{100} \) \( \frac{50}{100} \)

この時、宝くじを1枚買って得られる賞金の平均値

\( 10,000円 × \frac{1}{100} + 500円 × \frac{10}{100} \)
\( + 100円 × \frac{40}{100} + 0円 × \frac{49}{100} \)
= 100 + 50 + 40 + 0
= 190円

190円になります。

1枚買ったら、平均的には190円の賞金が当たる。
つまりもし宝くじ1枚の価格が190円を超えるのであれば、この宝くじを買うのは確率的には損である。

と言える。

みたいなアレです。

この問題の場合

期待値をこの問題に当てはめてみましょう。

Aを「一瞬で天国に行ける扉」
Bを「1日の間ずっと広場から出られない扉」
Cを「2日の間ずっと広場から出られない扉」
Tを「天国への平均日数」

としたとき、

天国への平均日数T
= (Aの確率 × Aの日数) + (Bの確率 × Bの日数) + (Cの確率 × Cの日数)

という式が成り立ちます。

それぞれの場合を考えていきましょう。

Aの場合:
\( \frac{1}{3} \) の確率で「一瞬で天国に行ける扉」を引き当てます。
所要日数は0日。

Bの場合:
\( \frac{1}{3} \) の確率で「1日の間ずっと広場から出られない扉」を引き当ててしまいます。
この場合、天国への平均日数が1日伸びてしまうので所要日数はT+1日。

Cの場合:
\( \frac{1}{3} \) の確率で「2日の間ずっと広場から出られない扉」を引き当ててしまいます。
この場合、天国への平均日数が1日伸びてしまうので所要日数はT+2日。

ここがポイントです。
Tという最終的に求める値がB,Cの計算途中でいきなり出現します。

1回目に広場で扉を開ける時の平均日数がT。
なので、B,Cの場合は実質「1日(2日)プラスしてさらにT日かかる」と捉えることができます。

毎回扉がシャッフルされ、何度広場に来ても初期状態は維持されるからこそ可能な計算式です。

かなりトリッキーなので気づきにくいですね。

さて、天国への平均日数Tは、

天国への平均日数T
= (Aの確率 × Aの日数) + (Bの確率 × Bの日数) + (Cの確率 × Cの日数)

で示されるので、

\(
T = (\frac{1}{3} × 0) + \{ \frac{1}{3} × (T+1) \} + \{ \frac{1}{3} × (T+2) \}
\)

\(
T = \frac{1}{3}T + \frac{1}{3} + \frac{1}{3}T + \frac{2}{3}
\)

\(
T = \frac{2}{3}T + 1
\)

\(
T = 3
\)

よって、初めて広場に来た人が天国にたどりつくまでの平均日数は3日です。

まとめ

最初に問題を見た時は思わず変な声が出ました。

イコールの左側に置いた「最終的に求める値」を、イコールの右側でもばんばん使うというテクニック。

数列ではよく見る光景ですが、期待値ではあまり見かけないのでなかなか見抜きづらいですね。

参考

3 Doors and Heaven