論理クイズ「3人の幼女とダイヤル錠の部屋」を解けたらすごく気持ちいい

「論理クイズ」の醍醐味たる、「論理的な思考」を試される問題です。

ちょっと難しいですが、解けた時の爽快感は最上級。

ぜひ時間をかけて取り組んでみてください。

問題

3人の幼女が悪魔に閉じ込められた。

悪魔は幼女たちを別々の部屋に入れ、部屋の扉に3桁のダイヤル錠をかけた。

幼女たちは、30分以内にダイヤル錠を解除して部屋から脱出しなければならない。

悪魔は幼女たちに以下のことを告げた。

  • すべてのダイヤル錠は、共通の数字で解除できる
  • 正解となる数字は「000〜999」のいずれかである
  • 3桁の数字を合計すると9になる
  • すべての桁の数字が、前の桁の数字以上の数字である
  • 一番左の桁を「1桁目」とした時、幼女Aには1桁目を、幼女Bには2桁目を、幼女Cには3桁目を教えた

幼女たちは、いかなるコミュニケーションも取ることもできない。
ただし、「いつ誰がダイヤル錠を解除したか」はリアルタイムで知ることができる。

当初、幼女たちは誰もダイヤル錠を解除できなかった。

ところが、しばらくして誰も解除できなかったのを知った幼女Bは、「正解の数字」が分かりダイヤル錠を解除した。

続いて、それを知った幼女Cがダイヤル錠を解除した。

最後に、2人の様子を知った幼女Aがダイヤル錠を解除した。

いったい、正解の数字は何だったのだろうか?

なお、3人の幼女はいずれも極めて論理的な思考を行うものとする。

さあ、解いてみよう!

一見すると難解ですが、意外と地道な方法で正解にたどり着けるかもしれません。

以下では「問題のポイント」「ヒント」「正解」「解説」と進んでいきます。

問題のポイント

正解は共通

  • すべてのダイヤル錠は、共通の数字で解除できる
  • 正解となる数字は「000〜999」のいずれかである

幼女たちの部屋にかけられたダイヤル錠の「正解の数字」は、いずれも同じです。

制限された正解数

  • 3桁の数字を合計すると9になる
  • すべての桁の数字が、前の桁の数字以上の数字である

まず、「3桁の数字を合計すると9になる」というのが大きなポイントです。

すなわち(1,2,6)なら、1 + 2 + 6 = 9というように、合計して9になるので正解の選択肢に含まれます。

ですが、(5,8,9)だと、5 + 8 + 9 = 22なので、正解ではありえません。

もちろん幼女たちは全員これを理解しています。

また、「すべての桁の数字が、前の桁の数字以上の数字」というのも強力なヒントになります。

たとえば(2,2,5)なら、2 ≦ 2 ≦ 5 となるので正解の選択肢に含まれます。

ですが、(5,2,2)だと1桁目が2桁目の数字より大きくなってしまうので、正解ではありえません。

もちろん幼女たちは全員これを理解しています。

制限された情報量

  • 一番左の桁を「1桁目」とした時、幼女Aには1桁目を、幼女Bには2桁目を、幼女Cには3桁目を教えた

悪魔は、幼女たちに(A,B,C)という形で正解数の一部を教えました。

幼女Aの視点から見ると(A,?,?)。
幼女Bの視点から見ると(?,B,?)。
幼女Cの視点から見ると(?,?,C)。

幼女たちはそれぞれ自分の桁の数字は分かっていますが、それ以外の桁の数字は分かりません。

誰もわからないから正解がわかった幼女B

当初、幼女たちは誰もダイヤル錠を解除できなかった。

ところが、しばらくして誰も解除できなかったのを知った幼女Bは、「正解の数字」が分かりダイヤル錠を解除した。

本問の最大のポイントとなるのが、幼女Bの行動。

彼女は「誰も正解が分からなかったから正解が分かった」のです。

この状況下で幼女Bが正解をひとつにしぼりこめたということに注意して考えてください。

以下ではすぐに「ヒント編」が始まります。

じっくり考えたい方は、ここでストップしてチャレンジしてみてください。

ヒント

第1のヒント

正解となる数字の組み合わせは、かなり少ない

正解となる数字の選択肢は「000〜999」の1000個ではありません。

  • 3桁の数字を合計すると9になる
  • すべての桁の数字が、前の桁の数字以上の数字である

という条件から、実際にありえる数字の組み合わせは、予想外に少なくなります。

すべてを書き出してみても……たぶんそんなに時間はかかりません。

第2のヒント

幼女が即座に正解にたどり着く「特定の数字の組み合わせ」が存在する

問題の条件から、論理的な幼女たちの誰かが開始直後に正解を悟れる数字の組み合わせが存在します。

本問は「しばらく誰も正解がわからなかった」とありますから、その「特定の組み合わせの数字」が正解でなかったことは一目瞭然です。

ならば、その「特定の数字の組み合わせ」はあまり重要ではないのでしょうか?

いいえ重要です。

この論理クイズで最も大きなヒントです。

第3のヒント

幼女Bは、正解となる数字が「特定の組み合わせ」ではないことに気づき、正解にたどり着いた

論理的な幼女ならば、即座に答えがわかる「特定の組み合わせの数字」が正解だった場合、ダイヤル錠を解除して扉を開けるはずです。

それが起こらなかった。

それが起こらなかったことにより、幼女Bは正解を理解した。

つまり最終的な「正解の数字」とは、「特定の組み合わせの数字」という選択肢がなくなったことで幼女B(2桁目)が正解を1つにしぼりこめる3桁の数字、ということになります。

第4のヒント

正解の数字が(0,0,9)なら、幼女Bと幼女Cは開始直後に正解が分かる

  • 3桁の数字を合計すると9になる
  • すべての桁の数字が、前の桁の数字以上の数字である

問題の条件から、幼女Bに与えられた数字が0なら彼女はすぐに正解が(0,0,9)だと分かります。
自分が0である以上、幼女Aの数字は0以外ありえず、また幼女Cの数字も9でしかありえないからです。

同じように、幼女Cも自分に与えられた数字が「9」なら、幼女Aと幼女Bの数字がいずれも「0」であると分かります。

第5のヒント

正解の数字が(0,1,8)なら、幼女Cは開始直後に正解が分かる

これも同様です。

幼女Cに与えられたのが8なら、幼女Aと幼女Bのどちらかが「0」「1」なわけですが、「前の桁の数字を超えてはならない」という制限上(0,1,8)だと分かるのです。

第6のヒント

正解の数字が(3,3,3)なら、幼女Aと幼女Cは開始直後に正解が分かる

同様です。

この場合、幼女Bだけは正解が分かりません。
(3,3,3)のほかに(2,3,4)といった選択肢がありえるからです。

ただしこのケースなら、幼女Aと幼女Cが開始直後にダイヤル錠を解除してくれるので、幼女Bも一拍遅れて正解が(3,3,3)だと理解できます。

最後のヒント

幼女の誰かが開始直後に正解を看破する組み合わせは、(0,0,9)(0,1,8)(3,3,3)の3つのみ

しばらく誰も正解が分からなかったことから、本問の正解はこれらではありません。

しかし、正解がこの3つでないことを知った幼女Bは正解が分かりました。

これら3つの組み合わせが排除されることで幼女Bが正解を1つにしぼりこめる幼女Bの数字とは?

正解

(1,1,7)

解説

開始前の状態

まず、正解になりえる数字の組み合わせを書き出してみましょう。

0,0,9
0,1,8
0,2,7
0,3,6
0,4,5

1,1,7
1,2,6
1,3,5
1,4,4

2,2,5
2,3,4

3,3,3

以上の12個です。

この段階では、まだ誰も正解が分かりません。

しばらく経過した時の状況

「ヒント」編で述べた通り、正解の数字が(0,0,9)(0,1,8)(3,3,3)のいずれかであれば3人の幼女のうち誰かが即座にダイヤル錠を解除できます。

しかし、そうはならなかった。

このことから、正解となる数字が(0,0,9)(0,1,8)(3,3,3)を除いた以下の9個にしぼりこまれます。

0,2,7
0,3,6
0,4,5

1,1,7
1,2,6
1,3,5
1,4,4

2,2,5
2,3,4

幼女Bが正解に気づく条件

さて、この段階で幼女Bは正解にたどり着きました。

上記の組み合わせの数字の、2桁目に注目してください。

幼女Bの数字が「2」「3」「4」の場合、他にも選択肢があるので幼女Bは正解がわかりません。

しかし––幼女Bの数字が「1」の時のみ––彼女には正解が(1,1,7)だと分かります。

2桁目に「1」が登場する組み合わせ(0,1,8)が消えたことで、自身が「1」を持つ幼女Bは正解が(1,1,7)しか有りえないことを確信できるわけです。

そして幼女Bはダイヤル錠を解除して部屋から脱出します。

全員脱出へ

幼女Bがダイヤル錠を解除できたことを知った幼女Cは、これと同じ思考を辿ります。

幼女Bが脱出するまで、幼女Cの視点だと正解の選択肢は(0,2,7)(1,1,7)ですが、彼女が脱出できたことから正解は(1,1,7)でないと論理的にありえないことに気づき、幼女Cもダイヤル錠を解除できます。

同様に、幼女Aも基本骨子をトレースオンしてダイヤル錠を解除します。

めでたしめでたし

参考サイト

NSA公式サイト

本論理クイズは、上記サイトから問題文の趣旨を引用いたしました。

NSAって書いてありますが、あのNSAです。

NSA(米国国家安全保障局)です。

CIA(米国中央情報局)と並んで頻繁にドラマやマンガで特殊部隊が特殊任務やってるNSAです。

何かの罠かと思いました。

おや? こんな時間にインターホンが鳴っ

140字以内の問題文

3人の幼女が悪魔に閉じ込められた。ある3桁の数字(XYZ)で解除できるダイヤル錠を全員が解除する必要がある。X+Y+Z=9かつX≦Y≦Zであり、幼女AはXを、幼女BはYを、幼女CはZを知っている。しばらく誰も正解がわからなかったがそれを見た幼女Aは正解に気づいた。3桁の数字とは?