難問数学クイズ「9ケタの数字を見破る少女」で算数と努力の集大成をぶつけよう

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問題

1〜9の数字をひとつずつ使った9桁の数字がある。

それを「ABCDEFGHI」と表現する。

この時、

  • 最初の1桁”A”は1で割り切れる
  • 最初の2桁”AB”は2で割り切れる
  • 最初の3桁”ABC”は3で割り切れる
  • 最初の4桁”ABCD”は4で割り切れる
  • 最初の5桁”ABCDE”は5で割り切れる
  • 全9桁”ABCDEFGHI”は9で割り切れる

が成立する。

さて、ABCDEFGHIはどんな数字だろうか?

問題を解くにあたり、電卓を使ってもよい。

※補足

3(もしくは9)で割り切れる数の判別法:
数字の各桁を足した数が3(もしくは9)で割り切れる

例:492
→ 4+9+2=15であり、15は3で割り切れるため、492も3で割り切れる

例:864
→ 8+6+4=18であり、18は9で割り切れるため、864も9で割り切れる

4で割り切れる数の判別法:
下2桁が4で割り切れる

例:120
→ 下2桁が20であり、20は4で割り切れるため、120も4で割り切れる

8で割り切れる数の判別法:
下3桁が8で割り切れる

例:999008
→ 下3桁が008であり、8は8で割り切れるため、999008も8で割り切れる

さあ、解いてみよう!

ありえる可能性は9! = 36万2880通り

最初から総当たりで考えるには多すぎるパターン数です。

いかにも時間がかかりそうな問題ですが、実際はかなりの数まで正解の候補をしぼることができます。

知力を駆使して、限界まで選択肢を減らしていきましょう。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

381654729

解説

No.9

まず、

全9桁”ABCDEFGHI”は9で割り切れる

ということについて悩む必要はありません。

1+2+3+4+5+6+7+8+9 = 45

45は9で割り切れます。

つまり1〜9の数字をひとつずつ使った9桁の数字なら、どのように順序を入れ替えても必ず9で割り切れます。

なので、最後の桁”I”は後回しにしましょう。

2通りの5

次に考えるべきなのは「Eは何なのか」です。

ABCDEは5で割り切れます。

この数字を5で割り切るためには、Eに「0」か「5」のどちらかが入らないといけません。

ですが0は使われていません。

なので、Eに入る数字は5です。

ABCD 5 FGHI

偶数の位置

ABは2で割り切れる
ABCDは4で割り切れる

このことから、B,D,F,Hは偶数だと分かります。

言い換えると、B,D,F,Hには2,4,6,8のどれかが入るはずです。

3と6のトリック

ABCは3で割り切れるため、A+B+Cは3で割り切れます。

そして、D+5+Fも3で割り切れます。

「ABCD5Fは6で割り切れる数」ですが、6は「2の倍数」かつ「3の倍数」であるため、当然ABCD5Fは3で割り切れることになります。

すなわち、A+B+C+D+5+Fは3で割り切れる。

ここで「A+B+Cが3で割り切れる」という条件があるので、D+5+Fも3で割り切れるはずです。

そうでなければA+B+C+D+5+Fが3で割り切れなくなってしまうので。

まとめましょう。

  • B,D,F,Hの候補は{2,4,6,8}
  • D+5+Fは3で割り切れる

可能性のある「D5F」の数値を調べてみましょう。

  • 254
  • 256
  • 258
  • 452
  • 456
  • 458
  • 652
  • 654
  • 658
  • 852
  • 854
  • 856

「D5F」の正解としてあり得るのは258, 456, 654, 852 のどれか。

4の倍数

さて、”D”について考えてみましょう。

ABCDは4で割り切れます。

つまりCDは4で割り切れる数です。

Cは奇数で、CDは4で割り切れる。
Dが「4」「8」である時、これを満たすことはできません。

つまり「D5F」の正解としてあり得るのは258, 654, のどちらかひとつ。

ABC 258 GHI
あるいは
ABC 654 GHI

武力による制圧

ここからは力技になります。

「D5F」が「258」であると仮定して総当たりで考えてみましょう。

残った偶数{4, 6}をBとHに入れます。
A+B+Cが3の倍数になることも考慮に入れると、ありえるパターンは以下の8つ。

  • 147258369
  • 147258963
  • 714258369
  • 714258963
  • 369258147
  • 369258741
  • 963258147
  • 963258741

さて、ABCDEFGHIは8で割り切れます。
なのでFGHも8で割り切れます。

よってFGHが「836」「814」「874」になっている数字は候補から外れます。

  • 147258963
  • 714258963

このふたつの数字ですが、「ABCDEFGが7で割り切れる」というルールに反しているため、どちらも正解ではありません。

「ある数字が7の倍数かどうかの判別法」ですが……正直計算がめんどくさすぎて
実際に7で割ってみた方が早い
というミもフタもない結論になるので、問題文に書かれている通りここは電卓を使ってください。

これでようやく確定しました。
「D5F」は「654」です。

ABC 654 GHI

武力による解決

さて、「ABC654GH」は8で割り切れます。

ということは「4GH」は8で割り切れます。

残っている数字は{1,2,3,7,8,9}。
このうち末尾Hに入れられるのは{8,2}のどちらか。
しかしGが奇数なので、Hに8を入れた「4G8」は絶対に8の倍数になりません。

つまりHは{2}。

ABC 654 G2I

「4G2」を8の倍数にするためには、Gに{3,7}のいずれかを入れねばなりません。

そのパターンは以下の8つ。

  • 987654321
  • 789654321
  • 381654729
  • 183654729
  • 981654327
  • 189654327
  • 981654723
  • 189654723

このうち、ABCDEFGが7で割り切れるのは381654729のみ。

これが答えです。

おつかれさまでした。

まとめ

これで「7の倍数の判別法」が簡単だったらもっと有名な数学クイズになっていたはずです。

ちなみにその「7の倍数の判別法」ですが、以下の通りです。

3桁ずつ数を区切り、奇数区画の和と偶数区画の和が等しい、または、それらの差が7の倍数であるとき、元となる自然数は7の倍数である

うん。

普通に割ってみた方が早い

参考

Nine digits Puzzle