数学クイズ「同じ誕生日の少女」で不思議な答えを導け

問題

これから、あるクラスの中に少女を集める。

クラスの中に、同じ誕生日の少女が2人（以上）いる確率を50%以上にしたい。

何人の少女を集めればいいだろうか？

※閏年や双子は考えないものとする

さあ、解いてみよう！

手計算だと相当めんどう……というかほぼ不可能です。

4択の中から直感で選んでください。

少し下にスクロールすると答えがあります。

正解

23人

解説

直感を裏切る数

「誕生日問題」「誕生日のパラドックス」と呼ばれる有名な問題です。

23人の人間が集まれば、その中で同じ誕生日の人がいる確率は50%以上になります。

この問題が「パラドックス（矛盾）」と呼ばれるのは、結論が矛盾するからではなく、直感に反するきわめて奇妙な数字が正解だから––という事実に由来します。

冷静に考えれば、365 ÷ 2 = 182.5 に近い「183人」が正解になりそうなものです。

なぜ無作為に23人が集まるだけで、2回に1回は同じ誕生日の人が出てきてしまうのでしょう？

最大のポイント

もしこの問題が
「あなたがクラスに入ったとき、”あなたと同じ”誕生日の人がいる確率が50％を超えるには、何人の少女を集めればよいか？」
という問題なら、23人よりずっと多くの少女が必要になります。

しかし聞かれているのは
「クラスの中で誰でもいいから同じ誕生日の少女がいる」
という状況。

少女Aは、少女B,C,D,E,F…Wと同じ誕生日になればよく、
幼女Bは、少女C,D,E,F…Wと同じ誕生日になればよく、
つまり許容される組み合わせの数が膨大なので、23人という人数でも題意の確率を満たせるのです。

計算してみよう

前提

閏年や双子を考えないので、1年を365日と考え、また誕生日は365日とも等確率であるとします。

求めるのは「n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率」。

「少なくとも」が出てきたら反射的に「余事象」を使っちゃいましょう。
Aが起こる確率 = 1 – Aが起こらない確率
って感じのあれです。

P₂ = n人の中で同じ誕生日の人が少なくとも2人いる場合の確率
P₁ = n人全員が違う誕生日である確率
P₂ = 1 – P₁

つまり「n人全員が違う誕生日である確率」を求めれば、問題文の答えにたどりつけるわけです！

発展

「n人全員が違う誕生日である確率」を求める。

2人目の誕生日が1人目と異なっている確率は、364/365。
3人目の誕生日が1人目2人目と異なっている確率は、363/365。
以下同様に、4人目は 362/365、 5人目は361/365…、n人目は (365-n+1)/365 となる。

すなわち、n人の誕生日が全て異なる確率は以下のようにして求められる。

$$
p_{1}(n)={\frac {364}{365}}\cdot {\frac {363}{365}}\cdot {\frac {362}{365}}\cdot \cdots \cdot {\frac {365-n+1}{365}}
$$

まとめると
$$
p_{1}(n)={365! \over 365^{n}(365-n)!}
$$

つまり、求める確率は
$$
p_{2}(n)=1-{365! \over 365^{n}(365-n)!}
$$
となります！

これを計算すると、
n = 22 のとき P₂ = 0.47569…
n = 23 のとき P₂ = 0.50729…
となり、23人以上集まった時に初めて題意の確率が50%を超えることが示されます。

ちなみに70人が集まると同じ誕生日の少女がいる確率は99%を超えます（正確には0.99915…）

まとめ

いやー確率は面白いですねー。

直感に反する興味深い例がいくつもあるので、これからもお伝えしていければと思います。

ちなみに上記の誕生日の確率の計算ですが、階乗とか出てくるので普通の電卓ではできません。
関数電卓とかGoogleの電卓でやろうとしてもInfinity（無限大）って表示されて瞬殺のファイナルブリットを食らいます。

以下のサイトで計算が可能ですので、ご興味があればどうぞ。

wolframalpha.com

参考

Wikipedia:誕生日のパラドックス

140字以内の問題文

これから、あるクラスの中に少女を集める。

クラスの中に、同じ誕生日の少女が2人（以上）いる確率を50%以上にしたい。

何人の少女を集めればいいだろうか？
・23人
・78人
・183人
・365人