有名な数学クイズ「検査を受ける少女」で裏切られる直感の罠

かなり有名な確率の問題をご紹介します。

目に見える数字だけ追っていると、思わぬ結果に打ちのめされます。

簡単だけど気づけない。

この問題、解けますか?

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問題

1万人に1人の割合で人間に感染しているウイルスがある。

このウイルスに「感染している」「感染していない」を調べる検査の精度は99%である。

少女はこの検査を受け、「感染している」という判定が出てしまった。

さて、この少女が実際に感染している確率は?

さあ、解いてみよう!

「そりゃもちろん99%なのでは?」

なるほど。
検査精度99%ですからね。
そう考えるのも当然です。

先に言いますが、正解は99%ではありません。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

約1%

解説

奇妙な結果

精度99%を誇る検査で「感染している」という結果が出たのに、実際に感染している確率は1%。

いったい何が起こったのか。

ポイントは「1万人に1人の割合で感染しているウイルスがある」という一文。
そして「検査精度99%」です。

100万人規模で考える

1万人に1人がウイルスに感染している。

ということは、100万人いれば100人がウイルスに感染していることになります。

100万人の内訳は以下の通り。

感染者:100人
非感染者:99万9900人

さて、検査の精度は99%です。

ということは感染者100人のうち、正しく「感染している」と判定されるのは99人、間違って「感染していない」と判定されるのは1人。

そして、非感染者99万9900人のうち、正しく「感染してない」と判定されるのは98万9901人、間違って「感染している」と判定されるのは9999人。

ここまでは何の問題もありません。

それでは次に、実際の感染・非感染者と、検査の結果による「判定」を表にしてみましょう。

実際に感染 実際は非感染
「感染している」 99人 9999人
「感染していない」 1人 98万9901人

ここが重要です。

検査の結果で「感染している」という判定が出た人の内訳を見てください。

「感染している」人は
99人 + 9999人 = 10098人

そのうち実際に感染しているのは99人

「感染している」と結果が出た人のうち実際に感染している人の割合は 10098 ÷ 99 ≒ 0.01

つまり、少女が「感染している」と判定されたとしても、本当に感染している確率はたった1%なのです。

意外な結果の原因

直感を裏切るこの結果の要因は、「99%という検査精度の低さ」「1万分の1という感染率の低さ」にあります。

99%の確率で正しい答えを出してくれる検査でも、100回に1回は失敗します。
1万回だと100回失敗します。
1億人を対象に検査したら100万人に誤判定を下します。

日常では「ほとんど確実」「まず間違いない」といった意味合いで「99%」という数が使われますが、検査のように対象が大多数となる場合において「99%」というのは決して高い数値ではないのです。

また、「0.01%(1万分の1)という感染率の低さ」にも注目すべきです。

この数値が低くなればなるほど(当然ですが)実際に感染している人の割合は減ります。

そして同時に、「実際は感染していないのに検査で『感染』と誤判定されてしまう人」の割合が増えてしまいます。
人間全体において「感染していない人が圧倒的大多数(この問題だと99.99%)」になるにつれ、誤判定を下すことのできる対象の数が増加するからです。

こういった感染率が極端に低い病気・ウイルスに対しては誤判定のリスクが生じやすいことは覚えておきたいですね。

ちなみにこの問題の例だと、検査精度が99.99%だとしても少女が実際に感染している確率はわずか50%です。

※検査対象を1億人とする

感染者:約1万人
非感染者:約9999万人

実際に感染 実際は非感染
「感染している」 9999人 9999人
「感染していない」 1人 9998万1人

「感染している」と判定が出た人は 9999 + 9999 = 19998人
そのうち実際に感染しているのは9999人
よって少女が実際に感染している確率は50%

まとめ

検査精度や感染率は、「判定結果の正確性」という観点において非常に重大な役割を果たします。

というわけで、現実社会においては「精度99.999..%の精密検査を行う」「再検査・再々検査を行い正判定率を上げる」といった対策が必要になってきます。

「やたらと再検査を促してくる病院」の真意はおそらく、そういうことなのでしょう。

ちなみにこの問題は「条件付き確率」の有名な問題なのですが、「ベイズ理論」にもよく登場します。

確率って面白いですねー。

参考

Probability that a person is infected if test is positive?

精密検査が必要な理由

条件付き確率の意味といろいろな例題

140字以内の問題文

1万人に1人の割合で人間に感染しているウイルスがある。

このウイルスに「感染している」「感染していない」を調べる検査の精度は99%である。

少女はこの検査を受け、「感染している」という判定が出てしまった。

さて、この少女が実際に感染している確率は?