有名クイズ「モンティ・ホール問題」が直感に反する!わかりやすい解説とは

とてもカンタンなのに、多くの人がまちがえる。
答えを聞いても納得できない。

でも、面白い。

世界で一番有名な確率問題「モンティ・ホール問題」を紹介します!

※「モンティホール・パラドックス」「モンティホール・ジレンマ」と呼ばれることもあります

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問題

3つのドアがある。

どれか1つが「当たり」で、残りの2つは「外れ」である。

「当たり」のドアを開けると景品があるが、「外れ」のドアを開けても何もない。

あなたはドアを1つ選んだ。

その後、正解を知っている司会者(モンティ)が、あなたが選ばなかった2つのうち「外れ」のドアを1つ選んで開けた。

ここであなたは、「最初に選んだドア」と「残っているドア」のうち、好きな方を選べる。

ドアの選択はこのままでいいだろうか?
それとも変えるべきだろうか?

さあ、解いてみよう!

「変えても変えなくても当たる確率は1/2なのでは?」
って思っちゃいます。

ふつうに考えたらそうですよね。

違います。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

変えた方がいい

ドアを変えると当たる確率は2倍になる

解説

概要

この問題は、アメリカのゲームショー番組「Let’s make a deal」にて行われたゲームが元になっています。

その番組の司会者の名前が「モンティ・ホール」だったので、このような名称で広く知られています。

「ドアを変えると確率が2倍になる」という直感に反する答えが多くの反論を呼び、その中には1000人近くの博士号所持者も含まれるほどでした。

直感に反する正解

  • 2つのドア
  • 1つは当たり
  • 1つは外れ

ならば、結局どちらを選んでも変わらない。
確率は1/2のままなのでは?

そう考えてしまいがちです。

ところが実際には、ドアを変えなかった場合に当たる確率は1/3(約33%)で、ドアを変えると当たる確率は2/3(約66%)になります。

実際に解いてみる

あなたが最初に選んだドアを「A」として、3つのドアに「A」「B」「C」という名前をつけます。

1/3の確率でAが当たり。
1/3の確率でBが当たり。
1/3の確率でCが当たり。

つまり起こりうる可能性は以下の3パターン。

司会者の行動 A(選んだドア) B C 起きる確率
BかCを開く × × 1/3
Cを開く × × 1/3
Bを開く × × 1/3

◯––当たり
×––外れ

ここまでは問題ありません。

では、「ドアを変えない」「変える」それぞれの場合を考えていきましょう。

「最初に選んだドア」を変えなかった場合

最初のドアAが当たりである確率は1/3。

司会者がB,Cのドアを開く確率は1/2ずつ。

「最初に選んだドアAが当たりである確率」は
= (ドアAが当たり × 司会者がBを開く) + (ドアAが当たり × 司会者がCを開く)
= (1/3 × 1/2) + (1/3 × 1/2)
= 1/3

以上より、ドアを変えない場合、最終的に当たる確率は1/3です。

問題の終盤において、
「はじめからドアは2つしかなかった」
のではなく
「3つあったドアのうち、外れのドア1つの位置がわかっただけ」
という状況であることに注意してください。

「最初に選んだドア」を「残ったドア」に変えた場合

最初のドアAが外れである確率は2/3。

ドアAが外れだった場合、司会者は必ず”A以外の”外れのドアを開きます。

司会者の行動に確率的な事象は存在しません。

「残ったドア」が当たりです。

つまり「最初に選んだドア」を「残ったドア」に変えた場合、最終的に当たる確率は2/3です。

なぜ1/2ではないのか?

この問題のポイントは、

正解を知っている司会者が絶対に「外れのドア」を開ける

という部分にあります。

一見するとこの行為によって
「最後に残ったドアは2つ」
「当たりは1つ」
「だから1/2だ!」
と私たちは思いこんでしまいます。

ですがよく考えてみると、この司会者の行動は
「1つのドアを選ぶか」
「2つのドアを選ぶか」
という選択肢を与えているだけだと気づきます。

最初に選んだドアを変えない場合。
これは「1つのドアを選んだ」状態です。
当たる確率は1/3。
当然ですね。

最初に選んだドアを変えた場合。
これは「2つのドアを選んだ」状態になります。
3つあるドアのうち、2つを選んだ。
だから当たる確率は2/3になるのです。

司会者はどんな時でも「最初に選ばれなかった2つのドア」のうち「外れのドア」を開けます。
必ずです。
100%そうします。

ということは、
「最初に選ばなかった2つのドアのうちどちらか1つは外れですが、2つのドアの方に選択を変えますか?」
「2つのドアの方に当たりがあればあなたの勝ちです」

と言っているのと何も変わりません。

なので、「最初に選んだドアを変えない」と確率は1/3のまま、「選んだドアを変える」と確率は2/3に上昇するのです。

まとめ

実際のところ、この問題を完全に納得するまで理解するのはやや難しいものです。

「残った2つのドアのうち当たりは1つ」という状況だと、どうしても直感が「1/2」と答えてしまいますので。

下に載せるWikipediaの記事がかなり詳しいので、さらに調べたい方はリンクを辿ると幸せになれるでしょう。

参考

モンティ・ホール問題