問題
ビー玉（ガラス玉）が入った6つの袋がある。
袋の中のビー玉の数はそれぞれ18個、19個、21個、23個、25個、34個。
ただし、1つだけ「こわれたビー玉」のみ入っている袋がある。
他の5袋は「きれいなビー玉」でいっぱいである。
幼女Aが3袋を取った。
その後、幼女Bが2袋を取った。
確認したところ、最後まで残されたのは「こわれたビー玉」の袋だった。
さて、Aが手に入れたビー玉の数が「Bの2倍」だった場合、「こわれたビー玉」の袋には何個のビー玉が入っているだろうか？
さあ、解いてみよう！
何に着目するか。
総当たりではないスマートな解答を出すためには、数学的センスが問われます。
少し下にスクロールすると答えがあります。
正解
「こわれたビー玉」は23個
解説
「きれいなビー玉」はすべてAとBが持っている。
Aは、「Bのビー玉」の2倍を持っている。
以上より、
(Bのビー玉) + (Bのビー玉) + (Bのビー玉) = (きれいなビー玉)
という関係が成り立ちます。
さらにまとめると、以下の式になります。
ここで重要なのが、(きれいなビー玉)は3で割り切れるということ。
すべてのビー玉の総数は 18+19+21+23+25+34 = 140個。
140は3で割ると余り2です。
それぞれのビー玉の「3で割った余り」に着目してみましょう。
(3で割ると余り0) + (?) = (3で割ると余り2)
ここから、(こわれたビー玉)は3で割ると余りが2になる数だとわかります。
6袋のビー玉を「3で割った余り」が何なのか確認してみましょう。
- 18 ≡ 余り0
- 19 ≡ 余り1
- 21 ≡ 余り0
- 23 ≡ 余り2
- 25 ≡ 余り1
- 34 ≡ 余り1
答えが出ました。
「こわれたビー玉」は23個です。
補足
140 – 23 = 117
(きれいなビー玉)は117個
117 / 3 = 39
幼女Bのビー玉は39個
ここから、
- 幼女Aのビー玉：19, 25, 34
- 幼女Bのビー玉：18, 21
だと判明します。
まとめ
「余りに注目する」という手法は、論理クイズのみならず大学受験レベルの数学でもめっちゃ頻繁に登場します。
「どうやって解けばいいんだ！！」って受験で頭を抱えた時は、「とりあえず余りを調べるか……」って調べてみると意外と解けます。
参考
1985年アメリカ高校数学大会の問題より
1985 AHSME Problems/Problem 18
140字以内の問題文
6つの袋にはそれぞれビー玉が18、19、21、23、25、34個入っている
ただし1つだけ「こわれたビー玉」のみ入っている袋がある
幼女Aが3袋を取り幼女Bが2袋を取ったところ、残ったのは「こわれたビー玉」の袋だった
Aのビー玉の数は「Bの2倍」だった
「こわれたビー玉」の袋に入っているビー玉の数は？
