難問論理クイズ「幼女とクラリスの誕生日」を解けたら頭がよくなる

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問題

A、B、クラリスの3人は友人である。
全員とても論理的で、つねに真実を話す。

AとBは、クラリスの誕生日の『月』も『日』も知らない。
そこでクラリスは次の方法で教えることにした。

まずクラリスが、AとBに聞こえるように叫ぶ。
「私の誕生日の『日』の数字は、私の誕生日の『月』の数字以下だよ」

それからクラリスはAに『日』を、Bに『月』を教えた。

A「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」
B「Aもクラリスの誕生日が分からないよ」

2人はまったく同じ会話を何回も繰り返したが、最後に

A「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」
B「いま、私たちはクラリスの誕生日が分かっている」

と発言して終わった。

結論から言うと、2人の「まったく同じ会話」は考えうる限りもっとも多く繰り返された。

クラリスの誕生日はいつだろうか?

さあ、解いてみよう!

なかなか難しい問題です。

論理クイズにおいて「誕生日問題」として知られる、

のいずれとも方向性がやや異なります。

分かっていることから1つずつ考えていきましょう。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

7月7日

解説

最初の一歩

本問でもっとも重要なポイントとなるのが以下の一文。

「私の誕生日の『日』の数字は、私の誕生日の『月』の数字以下だよ」

1年の間には「12」の月があります。

なので、クラリスの誕生日の『日』は1日〜12日のどれか。

また、誕生日の『日』が『月』以下ということは、『日』は『月』の数字と同じかそれを下回る数字になります。

たとえばクラリスの誕生月が4月だとしたら、誕生日の選択肢としてあり得るのは1,2,3,4日のいずれかです。

1回目の不明

それから、クラリスはAに『日』を、Bに『月』を教えた。

A「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」

Aは誕生日の『日』を、Bは『月』を知りました。

最初のAの発言に注目しましょう。
Bは誕生日の『日』を知ることが不可能––とAが発言できるのは、どんな状況でしょう?

たとえば、Bに与えられた『月』が1だったら?

『日』の数字は『月』以下なので、もしBがクラリスから誕生月は『1月』だと聞いたら、その瞬間にBは誕生日が「1月1日」だと見抜けます。

しかしAの発言は、「Bには分からない」。

最初の段階でAは「Bの『月』は1ではない」と知っていたのです。

なぜか?

Aに与えられた『日』が1ではないからです。

もしAの『日』が1なら、その時点で『月』の選択肢は1〜12のいずれも有り得ます。

けれどAの『日』が2以上なら(『日』は『月』と同じか下回る数字になるので)、Bの『月』は少なくとも1ではないと分かるのです。
例)2月2日、5月2日などはありえるが、1月2日はありえない

そんなわけで、最初のAの発言は「『日』は1ではない」というメッセージに置き換えられます。

2回目の不明

B「Aもクラリスの誕生日が分からないよ」

Aのメッセージを受け取ったBは、「Aもクラリスの誕生日が分からない」と言いました。

意味を考えてみましょう。

先ほどとは逆に、Aが即座にクラリスの誕生日を見抜ける場合があります。

Aの『日』が12の場合です。

『日』は『月』と同じか下回る数字になるので、『日』が12なら『月』も12で確定します。

しかしBは「Aにも分からない」と言った。
Aの『日』が12ではないとBには分かった。

なぜか?

Bの『月』が12ではないからです。

Bの『月』が12の場合、Aの『日』は1〜12の選択肢があります。
しかしBの『月』が12ではない場合、何が起こってもAの『日』は12にはなりません。

だからBは「Aにも分からない」と言えたのです。

そんなわけで、Bが最初に発した言葉は「『月』は12ではない」というメッセージに置き換えられます。

最後の不明

2人はまったく同じ会話を何回も繰り返したが、最後に

A「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」
B「いま、私たちはクラリスの誕生日が分かっている」

と発言して終わった。

結論から言うと、2人の「まったく同じ会話」は考えうる限りもっとも多く繰り返された。

2人の会話が繰り返されていくと何が起こるのか。

1回目の会話で『1日』『12月』が選択肢から消えました。
2回目にもまったく同じ会話がされたのならば、これまでの論理とまったく同様に『2日』『11月』が消えていくはずです。

『3日』が消え『10月』が消え
『4日』が消え『9月』が消え
『5日』が消え『8月』が消え
『6日』が消えた、

この瞬間!
最後にAが「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」と言って『6日』が消えたこの瞬間!

残っている可能性は『7月』『7日』のみに限定されます。

クラリスの誕生日は7月7日です。

補足

ちなみにBが「正解にたどり着いたのは私たち2人」と示唆しているのは、Aは『8月』の可能性が消えた時点で正解にたどり着いていたからです。

なので別にAは『6日』の候補を消す「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」という最後の発言をしなくても正解が分かっていたのですが、B(および読者)に情報を与えるためにわざわざそう発言したのだと考えられます。

また、Aが最後に「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」と言わない限り、Bの視点では誕生日の候補が『7月6日』『7月7日』の2つなので正解を絞りきれません。

Aの最後の「Bはクラリスの誕生日が分からないよ」という発言は、それが伝わる瞬間まではBはクラリスの誕生日が絶対に分かりません。

A、B、クラリスの3人は友人である。
全員とても論理的で、つねに真実を話す。

たしかに誰も嘘はついていません。

まとめ

いやー。
めっちゃ面白い論理クイズでしたねー。

ちょっと方向性は違いますが以下の論理クイズもおすすめです!

参考

Did you solve it? The birthday birthday problem