数学クイズ「50回だけ表を出す少女」はどう考えても直感に反する

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問題

コインを100回投げる。
表がぴったり50回出る確率は?

  1. 80%
  2. 50%
  3. 8%

さあ、解いてみよう!

「そんなの」
「50%では?」

と思ってしまいますが、ちがいます。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

約8%

解説

なぜ50%ではないのか?

「コインを100回投げたら、だいたい50回は表が出る」

その通りです。

「コインを100回投げる」という試行を何度も何度もくりかえしていけば、統計的には「表が50回出る」という頻度がもっとも高くなります。

その次に多く出るのは「表が49回もしくは51回」。
その次は「表が48回もしくは52回」。
その次は「表が47回もしくは53回」……。

これを評して「コインを100回投げたら、だいたい50回は表が出る」と言うことはたしかに可能です。

ただしこれは、「コインを100回投げると50%の確率でぴったり50回表が出る」という意味ではありません。

「コインを100回投げたら、だいたい50回は表が出る」
というのは、
「コインを100回投げたら、表が50回出る確率がもっとも高い」
「そして”50回”を頂点とすると、全体の確率は山なりになる」
という意味でしかないのです。

必要な知識

本問では「反復試行の確率」を使います。

確率\( p \)で成功するような試行を独立に\( n \)回反復して行ったとき、\( n \)回のうち\( k \)回成功する確率は以下の式で表されます。

反復試行の確率

\( {}_n \mathrm{ C }_k p^k (1−p)^{n−k} \)

なるほど。
わからん。

こういう「記号ばかりでいかにも数学です!」っていう式を見ると拒否反応ががが。

とりあえず例で考えてみましょう。

「サイコロを3回投げて、1の目がぴったり1回だけ出る確率」は、

\( p = ( \frac{1}{6} ) , n=3 , k=1 \)なので

\( {}_3 \mathrm{ C }_1 ( \frac{1}{6} )^1 ( \frac{5}{6} )^2 = \frac{25}{72} \)

である

なるほど。
やっぱりわからん。

「反復試行の確率」については以下のサイトの解説がくわしいです。

参考:反復試行の確率の公式といろいろな例題

「待て」
「そもそも\( {}_n \mathrm{ C }_k \)って何?」
「どうやって読むの?」
「”二項係数”か。知っている。読み方だけはな」

という方は『数学ガールの秘密ノート/場合の数』っていう本がめちゃくちゃ分かりやすいのでぜひ読んでください。

本題

コインを1枚投げて表が出る確率:

\( ( \frac{1}{2} ) \)

コインを50枚投げて50枚すべて表が出る確率:

\( ( \frac{1}{2} ) ^ {50} \)

100枚のコインを一列に並べ、それを左から右に1枚ずつコイントスしていくと考えます。

コインを100枚投げ、前半の50枚で表が出て、後半50枚で裏が出る確率は

\( ( \frac{1}{2} ) ^ {50} \times ( \frac{1}{2} ) ^ {50} \)

ですね。

さて、このパターン以外に「表50,裏50」が出る組み合わせは何通りあるでしょうか?

3人から1人を選ぶ組み合わせは3通り。
4人から2人を選ぶ組み合わせは6通り。

100枚のコインから表となる50枚を選ぶ組み合わせは、

\( {}_{100} \mathrm{ C }_{50} = \displaystyle \frac{ 100! }{ 50! 50! } \)通り。

さて。
「ある特定の組み合わせ」の時に、表が50枚,裏が50枚出る確率は、先ほども書いたとおり

\( ( \frac{1}{2} ) ^ {50} \times ( \frac{1}{2} ) ^ {50} \)

です。

ならば「コインを100枚投げて表がぴったり50枚出る確率」は、

「コインを100回投げて表がぴったり50回出るすべての組み合わせ数
×
「コインを100回投げて表がぴったり50回出るある1通りの組み合わせの時の確率

を計算すればいいはず。

やってみましょう。

\( {}_{100} \mathrm{ C }_{50} ( \frac{1}{2} ) ^ {50} ( \frac{1}{2} ) ^ {50} = \frac{ 100! }{ 50! 50! }( \frac{1}{2} ) ^ {100} \)

こ、この式は!

\( p = ( \frac{1}{2} ) , n=100 , k=50 \)
とした時の「反復試行の確率」!!

なんということだ……。
我々は偶然にも「反復試行の確率」の計算を行っていたというのか……。

そんな感じで上記の式を計算すると0.079…という値を得られます。

およそ0.08。

というわけで正解は約8%です。

参考

What is the probability of getting 50 heads when 100 coins are tossed?

What is the probability 100 coin tosses will result in exactly 50 heads?