難問論理クイズ「幼女と失われた搭乗券」は頭をやわらかくする必要がある

一見するとかなり難しいのですが、「あること」に気づければすぐに解決します。

頭を柔らかくしてチャレンジしてみましょう。

古くから確率の名問として知られる一問です。

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問題

100人乗りの飛行機がある。

100人の乗客たちは自分の座席番号が書かれたチケットを持っている。

だが、搭乗1人目の乗客はチケットを紛失したので、ランダムで選んだ席に勝手に座ってしまった。

2人目以降の乗客は、自分の席が空いているならそこに座り、空いていない場合には空席をランダムに選んで勝手に座る。

いま、最後の乗客(100人目)である幼女が飛行機に乗り込んだ。
幼女が自分のチケットの席に座れる確率は?

さあ、解いてみよう!

1人目が間違った席に座ったら……
2人目も間違った席に座ったとして……
3人目が自分の席に座れ……
100人目が自分の席に座れる確率?

アタマ爆発する。

どうしろって言うんだ……。

難問ですがヒントはなし。

かなり柔軟な発想が必要です。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

50%

解説

いかにも難解そうな確率計算が必要ですが、あることに気づけば一気に簡単になります。

100人目の乗客が飛行機に乗り込んだ時、残っている座席は「1人目が座るはずだった席」か「100人目が座るはずの席」のどちらかです。

なので、100人目である幼女が「本来の自分の席」に座れる確率は50%です。

おわりっ

 

はい。
場合分けして考えていきましょう。

最初の乗客が「本来の自分の席」に座れた場合

100分の1の確率で、最初の乗客は自分の席に座ることができます。

このとき、2〜99人目の乗客は自分の席が空いているためそこに座ります。

結果として、最後まで残っているのは「100人目が本来座る席」だけです。

当然幼女はそこに座ります。

この場合、乗客は全員「本来の自分の席」に座っていることになります。

最初の乗客が「本当は100人目の乗客の席」に座った場合

100分の1の確率で、最初の乗客は「本当は100人目の乗客の席」に座ってしまいます。

このとき、2〜99人目の乗客は自分の席が空いているためそこに座ります。

結果として、最後まで残っているのは「最初の乗客が本来座るべきだった席」だけです。

もちろん幼女はそこに座るしかありません。

この場合、「最初の乗客」と「最後の幼女」以外の98人は本来の自分の席に座っています。

最初の乗客が「本当は2〜99人目の席」に座った場合

100分の98の確率で、最初の乗客は全く関係ない席に座ります。

この場合、2〜99人目の乗客は自分の席が空いているならそこに座り、自分の席が空いていない場合は空席をランダムに選んで勝手に座ります。

全員がランダムに座るわけではなく、あくまで「自分の座席がない人」だけがランダムに座ることに注意してください。

さて、最初の乗客が「本当は2〜99人目の席」に座った場合、2〜99人目の誰かが「1人目の席」「100人目の席」に座った時点でそれ以降の乗客(〜99人目まで)は自分の席に座ることができます。

なぜでしょうか?

「Bの座席に座ってしまったA」

「Aに座席を取られてしまい1人目(あるいは100人目)の席に座ったB」
の2人に注目してみましょう。

この2人が座った座席は
「本来はBの座席」
「本来は1人目あるいは100人目の席」
です。
この2つの席をAとBが分担して座っていることになります。

Aの席にはすでに誰かが座っている。(だからAは自分の席に座れなかった)
Bの席にはAが座っている。
Bは2〜99人目とは関係ない席に座っている。

これは、(1人目と100人目を除いた)残りの乗客全員が自分の席に座れることを意味します。

なので誰かが「1人目の席」「100人目の席」のどちらかに座った時点で、残った片方の席は最後まで––100人目が搭乗してくるその瞬間まで––空席のままになります。

Bが「1人目の席」「100人目の席」のどちらかは完全にランダム。
50%です。

つまり。
最初の乗客が「本当は2〜99人目の席」に座った場合、2〜99人目の誰かは必ず「1人目の席」「100人目の席」のどちらかに座る。

そしてこの場合、100人目の乗客が本来の自分の席に座れる確率は上記の通り50%です。

すべての場合をまとめよう

以上見てきたように、あり得るパターンは3通りです。

  1. 最初の乗客が「本来の自分の席」に座れた場合
  2. 最初の乗客が「本当は100人目の乗客の席」に座った場合
  3. 最初の乗客が「本当は2〜99人目の席」に座った場合

それぞれが起こりうる確率は以下のようになります。

  1. 1%
  2. 1%
  3. 98%

そして、100人目の乗客が「本来の自分の席」に座れる確率は以下の通り。

  1. 100%
  2. 0%
  3. 50%

100回あったら2回は50%で座れて、98回は50%で座れる。

つまり最終的な「100人目の乗客が本来の自分の席に座れる」確率は50%です。

まとめ

海外では古典的な確率問題として有名で、”Airplane Passenger Puzzle”, “The Airplane Probability Problem” などと呼ばれています。

はい。
まぁそれはそれとして。

そもそもこの1人目はどうやって搭乗チケットを紛失したのだ……?

ぬーん。
搭乗ゲートを通過してから搭乗口に至るまでの間のわずかな時間で奇跡的になくしたんだきっとそうだ。

参考

The Airplane Probability Problem

Taking Seats on a Plane

The Lost Boarding Pass

140字以内の問題文

100人乗りの飛行機がある
100人の乗客たちは自分の座席番号が書かれたチケットを持つ
搭乗1人目の客はチケットを紛失し、勝手に選んだ席に座った
2人目以降の客は、自分の席が空いているならそこに座り、そうでないなら空席をランダムに選んで座る
最後の乗客が本来の自分の席に座れる確率は?