数学クイズ「100のボールを分ける少女」が頭を使うから面白い

問題

黒いボールと白いボールが50個ずつある。
ボールを入れる箱が2つある。

これから、「どちらかの箱をランダム(2分の1)で選び、その箱に入っているボールをランダムに1つ取り出す」という行動を1回だけおこなう。

この時に、黒いボールを取り出す確率をなるべく高くしたい。

さて、100個のボールをどのように2つの箱に分けて入れればよいだろうか?

なお、全てのボールは箱に入れなければならない。

さあ、解いてみよう!

……普通に考えたら「黒いボールを取り出す確率」は50%ですね。

まず2つの箱のうち1つがランダムで選ばれ、その箱の中に入っているボールがランダムで取り出される。

完全に50%なのでは?

いえ。

黒いボールを取り出す確率を50%以上にさせる方法があります。

ヒントはなし。

少し下にスクロールすると答えがあります。

 

 

 

 

正解

  • 1つの箱に黒いボール1個を入れる
  • もう1つの箱に残りのボール99個を入れる

これで「黒いボールを取り出す確率」は約75%になる。

解説

まずボールを取り出す箱が50%(=0.5)の確率でランダムに選ばれます。

箱Aに白いボールを50個、箱Bに黒いボールを50個入れた時、求める確率は

( 箱Aを選ぶ確率 × 箱Aから黒いボールを取り出す確率 ) + ( 箱Bを選ぶ確率 × 箱Bから黒いボールを取り出す確率 )

で表されます。
これを計算すると、

\(
( 0.5 \times 0 ) + ( 0.5 \times 1 ) \\
= \frac{1}{2}
\)

となり、\( \frac{1}{2} \) 結果は50%どまりです。

ここで「箱を1/2でランダムに選ぶ」という要素を最大限に活用し、箱に入れる玉を極端に偏らせることで「黒いボールを取り出す確率」をかなり上げることができます。

箱Aに黒いボールを1個、箱Bに黒いボール49個と白いボール50個を入れた時、求める確率は

\(
( 0.5 \times 1 ) + ( 0.5 \times \frac{49}{99} ) \\
≒ 0.7474..
\)

となり、黒いボールを取り出す確率が約75%にまで上昇します。

「ランダムでどちらかが選ばれる2つの箱」の内訳を「100%で黒が出る箱」「ほぼ50%で黒が出る箱」にすることで、全体の確率を引き上げています。

このトリックに気づけるかどうかがカギになりますが、とても面白い問題ですね。

参考

How can one maximise a probability?

140字以内の問題文

黒玉50、白玉50、箱が2つある

「どちらかの箱をランダムで選び、その箱に入っているボールをランダムに1つ取り出す」という行動をおこなう

黒玉を取り出す確率をなるべく高くしたい

100個の玉をどう分割して箱に入れればよいか?

※全ての玉は箱に入れなければならない