難問論理クイズ「幼女と3色のカメレオン」が数学的発想を必要とする

とっても簡単そうに見えるのに、考えてみると難しい。

すぐ解けると思ったのに何かがおかしい。

問題文はシンプルですが極めて独創的な問題です。

発想力を試される論理クイズ、登場ォォォォォ！

問題

3色のカメレオンがいる。

青のカメレオンは13匹。
赤のカメレオンは15匹。
緑のカメレオンは17匹。

色が異なるカメレオン2匹が触れ合うと、どちらも第3の色に変化する。
例：青のカメレオンと赤のカメレオンが触れ合う→両者とも緑のカメレオンに変化する

さて、このカメレオンたちを1箇所に閉じ込めたとき、すべてのカメレオンの色が同じになることはありえるだろうか？

さあ、解いてみよう！

難問です。

すべてのカメレオンが同一色になるのであれば、その方法を。
すべてのカメレオンが同一色にならないのであれば、その理由を。

考え出してください。

少し下にスクロールすると答えがあります。

正解

初期状態における色数の差が2もしくは4なので、すべてのカメレオンが同一色になることは不可能である

解説

すべてが一色になる

上記は、初期状態のカメレオンの数と、すべてのカメレオンが同一色になった場合の匹数の一覧表です。

まあ当然こんな感じの表になりますね。

「すべてのカメレオンが同一色になった段階」において、それ以外の2色は同数であるという当たり前の事実が、この問題において大きな意味をもたらします。

また、初期状態において青と赤は2匹差、赤と緑は2匹差、青と緑は4匹差。

このこともよく覚えておいてください。

変化後の「色の差」を考える

2匹のカメレオンが触れ合った時のことを考えます。

赤と青が触れ合うと、両者とも緑になる。

すなわち、その色を有するカメレオンの数は

のように変化します。

さて、ここで「2匹が触れ合った時の、各色のカメレオンの匹数の差」に着目してみましょう。

これが本問の最も発想的なポイントになります。

ここから読み取れる事実。

それは、「2匹のカメレオンが触れ合うとすべての色数の差は0あるいは±3で変化する」ということ。

初期状態を思い出してください。

青,赤,緑のカメレオンは13,15,17匹。
青と赤の差は2。
赤と緑の差は2。
青と緑の差は4。

カメレオンが出会うと、3パターンある「2色のカメレオン数の差」は「不変」「3増える」「3減る」のいずれかの変化を起こします。

「すべてのカメレオンが同じ色になる」ということは「青-赤,赤-緑,青-緑いずれかの色数の差が0になる」ということ。

「色数の差が2あるいは4」の状態でスタートしたこの状況ですが、色数の差は0あるいは±3でしか増減しないため、色数の差がに0になることは永遠にありえません。

つまり、すべてのカメレオンが一色になることは不可能なのです。

まとめ

設問自体は簡単で、解法もいったん聞けば納得できるものですが、「色数の差」に着目して「不可能である」と証明づけるのはなかなか難しい問題です。

というのも、この問題の初出は1984年の「国際数学街トーナメント」。
「暗記」よりも「発想力」が重視される問題の中で出題されたものです。

数学って面白いなー。

と思いませんか。

そうですよね！！

論理クイズは面白いですね！！！

ちなみにこの記事をもって当ブログの「幼女の論理クイズシリーズ」の記事数が50に達しました。

「まーあと30問くらい面白い論理クイズがあるだろう」

って20記事目あたりで思っていましたが、50記事目でも「あと30問はある」状態です。

超難問論理クイズ「2人の幼女とチェス盤の部屋」を書いてから1年。

まだまだ知られていない論理クイズを発掘してまとめて、そしてこんなにも面白い論理クイズを大勢の人が楽しんでくださるように、これからも記事で取り上げていきます。

みんな、論理クイズやろう！

参考

Did you solve it? Secrets of Russian intelligence

Can You Solve The Chameleon Riddle?

140字以内の問題文

3色のカメレオンがいる
青は13匹、赤は15匹、緑は17匹
色が異なるカメレオン2匹が触れ合うとどちらも第3の色に変化する
例：青と赤が触れ合う→両方とも緑に変化する

さて、このカメレオンたちを1箇所に閉じ込めたとき、全てのカメレオンの色が同じになることはありえるか？