難問論理クイズ「幼女とイースターエッグの箱」でナゾを解く

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問題

以下のように3×4の箱が並んでいる。

この12の箱のうち、ランダムに選ばれたどれか2つの箱にイースターエッグが1つずつ入っている。
残り10の箱は空である。

箱にはそれぞれA〜Lのラベルが貼られている。

A B C D
E F G H
I J K L

いま、2人の幼女が同時に1つずつ箱の中身を確認していく。

幼女アリスは、A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L,の順で。
幼女イヴは、A, E, I, B, F, J, C, G, K, D, H, L,の順で。

イースターエッグを1つでも先に見つけた方が勝者となる。

たとえばイースターエッグがB,Cに入っていた場合、2番目の箱でそれを発見できるアリスが勝者となる。

さて、このゲームで有利なのはどちらの幼女だろうか?

なお、同時に見つけた場合は引き分けとなる。

さあ、解いてみよう!

ぬ?

ワケの分からない問題がきましたよ。

2つのイースターエッグが、12個の箱のうちどれかにランダムに入っている。

それを2人の幼女が順に確認していく。
確認作業は同時に行われる。
先に1つでも見つけた方が勝ち。
ちがうのはその順序だけ。

……どう考えても「有利も不利もない」「2人の勝率は50%ずつ」に思えます。

ぬーん。

少し下にスクロールするとヒントがあります。

 

 

 

 

ヒント

第1のヒント

どちらかの幼女が有利である

第2のヒント

確率計算は必要ない

第3のヒント

「イースターエッグが1つ」という条件なら勝率は五分五分

最後のヒント

12と11

 

 

 

 

正解

アリスが有利

解説

重要なこと

一見すると確率問題のようにも思えますが、複雑な計算はいっさい出てきません。

勝者となる幼女がどちらになるかは、「イースターエッグがどの箱にあるか」というパターンによって決定されます。

ほとんどの箱について「必ず先に調べる幼女がいる」ということに注意してください。

どちらが先に見つける?

下表をご覧ください。

これは、もしその箱にイースターエッグがあった場合、「どちらの幼女が先に見つけるか」「何回目に調べた箱で見つけるか」を示したものです。

A
引き分け
B
アリス:2
C
アリス:3
D
アリス:4
E
イヴ:2
F
イヴ:5
G
アリス:7
H
アリス:8
I
イヴ:3
J
イヴ:6
K
イヴ:9
L
引き分け

「そこにエッグがあれば絶対に勝てる箱」は、アリスにとってもイヴにとっても5つずつ。

2つのエッグがどちらも「アリスが勝つ箱」に入っていた場合、アリスが必ず勝ちます。

2つのエッグがどちらも「イヴが勝つ箱」に入っていた場合、イブが必ず勝ちます。

ここだけ見ると有利不利の偏りはないように思えます。

重要なのは「アリスが勝つ箱」「イヴが勝つ箱」に1つずつエッグが入っていた場合です。

このとき、アリスが勝てる「エッグの配置」は、「アリスがエッグを見つけるまでの回数がイヴより少ない」パターン。

  • アリス2 + イヴ3/イヴ5/イヴ6/イヴ9
  • アリス3 + イヴ5/イヴ6/イヴ9
  • アリス4 + イヴ5/イヴ6/イヴ9
  • アリス7 + イヴ9
  • アリス8 + イヴ9

以上の12通りです。

対して、イブが勝てる「エッグの配置」は、「イヴがエッグを見つけるまでの回数がアリスより少ない」パターン。

  • イヴ2 + アリス3/アリス4/アリス7/アリス8
  • イヴ3 + アリス4/アリス7/アリス8
  • イヴ5 + アリス7/アリス8
  • イヴ6 + アリス7/アリス8

以上の11通りです。

これまでの結論をまとめてみましょう。

  • エッグがAかLにある場合、引き分け
  • エッグが2つとも「アリスが勝つ箱5つ」のどれかにある場合、アリスが勝つ
  • エッグが2つとも「イヴが勝つ箱5つ」のどれかにある場合、イヴが勝つ
  • エッグが1つずつ「アリスが勝つ箱」「イヴが勝つ箱」にある場合、12対11でアリスが勝つパターンが多い

以上より、この勝負ではアリスの方が有利です。

まとめ

直感に反する面白い問題でしたね。

もしイースターエッグが1つであれば、幼女たちの勝率に優劣はつきません。

イースターエッグが2つだからこそ「箱を調べる順序がちがう」というわずかな差異が勝率の偏りにつながるのです。

この問題を発表したのはNSA(アメリカ国家安全保障局)。
さすがは天才が集まるアメリカ国防総省の諜報機関ですね。

参考

September 2015 Puzzle Periodical