問題
黒いボールと白いボールが50個ずつある。
ボールを入れる箱が2つある。
これから、「どちらかの箱をランダム（2分の1）で選び、その箱に入っているボールをランダムに1つ取り出す」という行動を1回だけおこなう。
この時に、黒いボールを取り出す確率をなるべく高くしたい。
さて、100個のボールをどのように2つの箱に分けて入れればよいだろうか？
なお、全てのボールは箱に入れなければならない。
さあ、解いてみよう！
……普通に考えたら「黒いボールを取り出す確率」は50%ですね。
まず2つの箱のうち1つがランダムで選ばれ、その箱の中に入っているボールがランダムで取り出される。
完全に50%なのでは？
いえ。
黒いボールを取り出す確率を50%以上にさせる方法があります。
ヒントはなし。
少し下にスクロールすると答えがあります。
正解
- 1つの箱に黒いボール1個を入れる
- もう1つの箱に残りのボール99個を入れる
これで「黒いボールを取り出す確率」は約75%になる。
解説
まずボールを取り出す箱が50%(=0.5)の確率でランダムに選ばれます。
箱Aに白いボールを50個、箱Bに黒いボールを50個入れた時、求める確率は
( 箱Aを選ぶ確率 × 箱Aから黒いボールを取り出す確率 ) + ( 箱Bを選ぶ確率 × 箱Bから黒いボールを取り出す確率 )
で表されます。
これを計算すると、
\(
( 0.5 \times 0 ) + ( 0.5 \times 1 ) \\
= \frac{1}{2}
\)
となり、\( \frac{1}{2} \) 結果は50%どまりです。
ここで「箱を1/2でランダムに選ぶ」という要素を最大限に活用し、箱に入れる玉を極端に偏らせることで「黒いボールを取り出す確率」をかなり上げることができます。
箱Aに黒いボールを1個、箱Bに黒いボール49個と白いボール50個を入れた時、求める確率は
\(
( 0.5 \times 1 ) + ( 0.5 \times \frac{49}{99} ) \\
≒ 0.7474..
\)
となり、黒いボールを取り出す確率が約75%にまで上昇します。
「ランダムでどちらかが選ばれる2つの箱」の内訳を「100%で黒が出る箱」「ほぼ50%で黒が出る箱」にすることで、全体の確率を引き上げています。
このトリックに気づけるかどうかがカギになりますが、とても面白い問題ですね。
参考
How can one maximise a probability?
140字以内の問題文
黒玉50、白玉50、箱が2つある
「どちらかの箱をランダムで選び、その箱に入っているボールをランダムに1つ取り出す」という行動をおこなう
黒玉を取り出す確率をなるべく高くしたい
100個の玉をどう分割して箱に入れればよいか？
※全ての玉は箱に入れなければならない
